奇函数的性质

什么是奇函数和偶函数?

奇函数是指对于一个定义域关于原点对称的函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）= - f（x），那么函数f（x）就叫做奇函数（odd function）。

一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意的一个x，都有f(x)=f(-x),那么函数f(x)就叫做偶函数(Even Function)。

1. 两个奇函数相加所得的和或相减所得的差为奇函数。

2. 一个偶函数与一个奇函数相加所得的和或相减所得的差为非奇非偶函数。

3. 两个奇函数相乘所得的积或相除所得的商为偶函数。

4. 一个偶函数与一个奇函数相乘所得的积或相除所得的商为奇函数。

(1) 两个偶函数相加所得的和为偶函数。

(2) 两个奇函数相加所得的和为奇函数。

(3) 一个偶函数与一个奇函数相加所得的和为非奇函数与非偶函数。

(4) 两个偶函数相乘所得的积为偶函数。

(5) 两个奇函数相乘所得的积为偶函数。

(6) 一个偶函数与一个奇函数相乘所得的积为奇函数。如果对于函数f(x)的定义域内的任意一个x值，都有f(－x)=－(x)．那么就称f(x)为奇函数． 如果对于函数f(x)的定义域内的任意一个x值，都有f(－x)=f(x)，那么就称f(x)为偶函数． 理解函数的奇偶性要掌握其定义式，并且奇函数和偶函数都具有对称性，在研究此类函数时，只要知其一半，便可知其全部。从函数图形上看，奇函数的图形关于原点对称，偶函数的图形关于y 轴对称。 一般都是以抽象函数来考。。奇函数：奇函数是指对于一个定义域关于原点对称的函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）= - f（x），那么函数f（x）就叫做奇函数（odd function）。

偶函数：一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意的一个x，都有f(x)=f(-x),那么函数f(x)就叫做偶函数(Even Function)。

奇函数在某一区间上单调递增，则在它的对称区间上也是单调递增。

偶函数在某一区间上单调递增，则在它的对称区间上单调递减。

以上内容参考：百度百科--函数奇偶性奇函数：如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x都有f（-x）=-f(x)那么函数f(x)就叫奇函数

偶函数：如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x都有f(-x)=f(x)那么函数f（x)就叫偶函数1.函数的定义域是一个关于原点对称的区间，比如(－a，a)，(－∞，＋∞)，[－a，a]

（若定义域不关于原点对称则为非奇非偶函数）。

2.对于定义域内任意的数x，如果f(-x)≡－f(x)，称函数f(x)在定义域上是奇函数；

如果f(-x)≡f(x)，称函数f(x)在定义域上是偶函数

（那个三横的符号表示恒等于）。

3.从图形上来说，奇函数的图形关于原点对称，偶函数的图形关于y轴对称首先定义域要对称

否认就既不是奇函数也不是偶函数

之后再看关于什么对称

关于原点对称的是奇函数

关于Y轴对称的是偶函数

奇函数和偶函数的定积分有什么性质

奇函数在对称区间上的定积分为零偶函数在对称区间上的定积分为其一半区间的两倍。此性质简称为偶倍奇零。

奇函数性质：

1、图象关于原点对称

2、满足f(-x) = - f(x)

3、关于原点对称的区间上单调性一致

4、如果奇函数在x=0上有定义,那么有f(0)=0

5、定义域关于原点对称（奇偶函数共有的）

偶函数性质：

1、图象关于y轴对称

2、满足f(-x) = f(x)

3、关于原点对称的区间上单调性相反

4、如果一个函数既是奇函数有是偶函数,那么有f(x)=0

5、定义域关于原点对称（奇偶函数共有的）

扩展资料：

奇函数定义：对于一个函数在定义域范围内关于原点（0，0）对称、对任意的x都满足 

1、f(-x)=-f(x)的函数叫做奇函数。例如：y=x³（y等于x的3次方）

2、奇函数图象关于原点（0，0）对称。

3、奇函数的定义域必须关于原点（0，0）对称，否则不能成为奇函数。

偶函数定义：

1、如果知道函数表达式,对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都满足f(x)=f(-x) 如y=x²，y=cos x 

2、如果知道图像,偶函数图像关于y轴（x=0）对称.

3、偶函数的定义域必须关于原点对称，否则不能成为偶函数 （奇函数也一样）

参考资料：

百度百科-奇函数

百度百科-偶函数奇函数在对称区间上的定积分为零

偶函数在对称区间上的定积分为其一半区间的两倍。

上述性质简称为偶倍奇零。